Нарисна геометрія Перетин лінії з поверхнею. Взаємне перетинання поверхонь. Метод допоміжних січних площин. Метод допоміжних січних сфер. Окремі випадки перетину поверхонь другого порядку.

Лекція №8 частина 3
Метод допоміжних січних площин. Метод допоміжних січних сфер.
Окремі випадки перетину поверхонь другого порядку.

перетин лінії з поверхнею

У загальному випадку для графічного визначення точок перетину лінії з поверхнею (ріс.8.28) необхідно виконати ряд геометричних побудов, описуваних наступним алгоритмом:

1.Заключаем лінію l в деяку допоміжну поверхню Δ;

1.Строім лінію m перетину даної поверхні Ф і допоміжної поверхні Δ;

2.Определяем шукану точку К перетину лінії l і m (точка може бути не єдина).

В якості допоміжної поверхні доцільно використовувати проецирующую циліндричну поверхню, що направляє якої повинна служити задана лінія, а -прямолінейнимі утворюють - проектують прямі.

Приклад: Визначити точки перетину прямої лінії з поверхнею конуса обертання і визначити видимість прямої по відношенню до конусу.

Якщо в якості допоміжної січної площини можна вибрати горизонтально проецирующую або фронтально проецирующую площині, то в перерізі вийдуть відповідно гіпербола (ріс.8.29а) або еліпс (ріс.8.29б). Побудова кривих ліній значно ускладнює завдання.

Малюнок 8.28. Перетин лінії з поверхнею

а) модель

б) епюр

Малюнок 8.30. Перетин прямої лінії з конусом

(Допоміжна січна площина-площина загального положення)

Тому в якості допоміжної січної площини доцільно вибрати таку площину, яка б включала пряму l і перетинала конус по утворюючим (ріс.8.30). Очевидно, що така площина визначається прямий l і точкою S - вершиною конуса. Нехай підставу конуса лежить в горизонтальній площині проекцій, тоді лінія перетину допоміжної січної площини і горизонтальній площині проекцій В С перетинає основу конуса в точках D і F. Таким чином в перерізі конуса допоміжної січної площиною вийде трикутник D F S. Так як отриманий трикутник і пряма l лежать в одній площині, точки їх перетину К і М і є точки перетину прямої з конусом.

Лінією перетину двох поверхонь є безліч точок, спільних для даних поверхонь. На цьому безлічі виділяють характерні (опорні, або головні) точки, з яких слід починати побудову цієї лінії. Вони дозволяють побачити, в яких межах можна змінювати положення допоміжних січних поверхонь для визначення інших точок.

До таких точок відносяться: екстремальні точки- верхня і нижня точки щодо тієї чи іншої площини проекцій; точки, розташовані на нарисових утворюють деяких поверхонь точки кордону зони видимості і т.д.

Слід має на увазі, що лінія перетину двох поверхонь в проекціях завжди розташовується в межах контуру накладення проекцій двох пересічних поверхонь.

Іноді доцільно скористатися перетворенням креслення, щоб представити пересічні поверхні (або одну з них) в приватному положенні.

Для визначення цих точок часто користуються допоміжними січними поверхнями. Поверхні-посередники перетинають дані поверхні по лініях, які, в свою чергу, перетинаються в точках лінії перетину даних поверхонь.

Січні поверхні-посередники вибираються так, щоб вони, перетинаючись з даними поверхнями, давали прості для побудови лінії, наприклад прямі і окружності.

Із загальної схеми побудови лінії перетину поверхонь виділяють два основні методи - метод січних площин і метод січних сфер.

У загальному випадку рішення задачі по побудові лінії перетину двох поверхонь може бути зведене до розглянутим раніше завданням за визначенням:

1. Точок перетину лінії з поверхнею;

2.Лініі перетину площини і поверхні;

3.Комбінаціі першої і другої задачі.

Допоміжні січні площині найчастіше вибирають проектує і паралельними одній з площин проекцій - площинами рівня.

1.Якщо утворюють (кола) розташовані в загальних площинах рівня;

2.Якщо в загальних площинах рівня виявляються прямолінійні утворюючі лінійчатої поверхні і окружності циклічної;

3.Лінейчатие каркаси заданих поверхонь належать загальним площинах рівня або пучках площин загального положення.

Приклад 1: Розглянемо побудову лінії перетину трикутної призми з конусом (ріс.8.31). Нехай вісь обертання конуса перпендикулярна площині П 1, а грані призми перпендикулярні площині П 2.

В цьому випадку призму можна розглядати, як три площини α, β, γ, що проходять через її межі, а завдання зводиться до знаходження ліній перетину цих площин з конусом. При цьому відповідно до характерними перерізами конуса відомо, що площина α перетинає конус по колу паралельної П 1, β- по гіперболі паралельної П 3, а γ - по еліпсу.

На площину П 2 лінії перетину від всіх площин проектуються в прямі, що збігаються зі слідами площин α, β, і γ.

Для побудови проекцій цих ліній на площині П 1 і П 3 відзначимо характерні точки на вже наявній фронтальній проекції ліній перетину:

а) модель

б) епюр Малюнок 8.31.Перетин конуса і призми

Точки 12 і 62 - перетину площини γ з нарисом проекції конуса на площину П 2 (головним меридіаном), ці точки визначають положення великої осі еліпса, крім того точка 12 -проекція точки вершини гіперболи і одночасно належить конусу (лежить на нарисі фронтальної проекції конуса) і ребру призми (лінії перетину площин α і β), а точка 62 - проекція точки, одночасно належить конусу і ребру призми (лінії перетину площин α і γ); точки 2, 3, 7 і 8 - характерні тим, що їх профільні проекції лежать на нарисі проекції конуса; 42, 52 - точки, що лежать на середині відрізка 1 262 (великий осі еліпса) і визначають положення малої осі еліпса; 9,10 - точки одночасно належать конусу і ребру призми (освіченій перетином площин α і β).

Розглянемо послідовність знаходження проекцій точок 4 і 5. Через фронтальні проекції цих точок проведемо допоміжну січну площину φ. Ця площина перетинає конус по паралелі p, а грань призми по прямій лінії m, паралельної ребру. На горизонтальній площині проекцій перетин p 1 і m 1 визначають положення точок 41 і 51. Для точного побудови кривих ліній перетину поверхонь позначених точок мало. Після знаходження проекцій всіх точок їх необхідно з'єднати з урахуванням видимості.

За допомогою допоміжної січної площини b (площині головного фронтального меридіана півсфери) знайдені точки 2 і 3, як точки перетину головного фронтального меридіана півсфери - дуги окружності з з лініями d і g. Площина g - площину головного фронтального меридіана циліндра, перетинає півсферу по дузі кола - k яка в свою чергу перетинаючись з фронтальним меридіаном циліндра l і m визначає положення точок 4 і 5. Аналогічно, за допомогою площини j знайдені точки 6 і 7.

Точка 8 знайдена за допомогою фронтально проецирующей площині w, паралельної горизонтальній площині проекцій, яка перетинає півсферу по колу - екватору h, а циліндр по колу підстави s.

Характерними точками, в даному випадку, є точки 1 5 і 8, що лежать на нарисах проекцій поверхонь. Крім того, точки 1 і 8 визначають межу зони видимості кривої на площину П 1, а точки 4 і 5 - кордон зони видимості на площину П 2.

При визначенні лінії перетину двох поверхонь обертання, при їх особливому взаємне розташування, не завжди раціонально застосовувати допоміжні січні площини. У деяких випадках застосовують метод допоміжних січних сфер - концентричних або ексцентричних.

Осі поверхонь G і Q паралельні фронтальній площині проекцій і перетинаються в точки А (ріс.8.33). Ця точка приймається за центр усіх допоміжних концентричних сфер. Кожна з концентричних сфер перетинає поверхні по колах - паралелей (а, b, c, d, n), фронтальні проекції яких є прямими лініями (а 2, b 2, c 2, d 2, n 2). Проекції точок 1, 2, 2 + 2 3 2, 4 2, 5 2 і 6 2 перетину проекцій паралелей належать проекції шуканої лінії перетину поверхонь. Перетин головних меридіанів визначає крайні точки 7 і 8.

Для точного побудови лінії перетину поверхонь необхідно знайти точки 9 і 10, які визначають межу зони видимості лінії перетину поверхонь на горизонтальній проекції. Для цієї мети використовувалася допоміжна січна площина b, яка перетинає поверхню Q по лінії m, а поверхня G по утворюючим, горизонтальні проекції яких перетинаючись визначають положення шуканих точок.

Поєднавши знайдені точки 1 ... 10 з урахуванням видимості отримаємо лінію перетину поверхонь.

Другим прикладом використання в якості допоміжних поверхонь посередників концентричних сфер розглянемо при визначенні лінії перетину поверхонь запропонованих на малюнку 8.34. Осі поверхонь обертання G і Q перетинаються в точки А, при цьому вісь поверхні Q - фронтально проектує пряма, а вісь поверхні G - горизонталь. Точка А приймається за центр усіх допоміжних концентричних сфер.

Точки 1 і 2 лінії перетину побудовані за допомогою сфери радіуса R. Ця сфера перетинає поверхню Q по колу а, а поверхня G по колу в, яка показана тільки на горизонтальній проекції. Перетин горизонтальних проекцій кіл а 1 і в 1 визначають проекції 1 1 і 2 1 точок лінії перетину. Їх фронтальні проекції 1 2 і 2 2 побудовані на а 2 перетині з лініями зв'язку.

Аналогічно знайдені точки 3 і 4.

Для знаходження точок 5 і 6 визначають межу зони видимості на горизонтальній проекції використовувалася допоміжна січна площина b, яка перетинає поверхню Q по окружність n, а конічну поверхню G по трикутнику визначає її нарис на горизонтальній проекції.

Точки 7 і 8 знаходяться на кордоні зони видимості фронтальної проекції, для їх знаходження використовується допоміжна січна площина g.

Поєднавши знайдені точки 1 ... 8 з урахуванням видимості отримаємо лінію перетину поверхонь G і Q.

Малюнок 8.34. перетин
поверхонь обертання, вісь однієї - горизонтально проектує пряма, а другий - горизонталь

Визначення лінії перетину конуса і сфери застосування ексцентричних сфер, як поверхонь - посередників. Центри сфер - точки розташовані на осі конуса. Сфера перетинає конус і сферу по колу, які перетинаються в двох точках, що належать шуканої лінії перетину (ріс.8.35а).

Верхня і нижня точки лінії перетину знайдені за допомогою допоміжної січної площини - площини головного фронтального меридіана, що перетинає конус і сферу по трикутнику і кола, які є нарисами поверхонь на фронтальній площині проекцій.

Точки визначають межу зони видимості лінії перетину на горизонтальній площині проекцій, знайдені за допомогою допоміжної січної площини - горизонтальній площині рівня, що перетинає сферу по екватору - окружності є нарисом кулі на горизонтальній проекції, а конус по колу - паралелі.

Знайдені за допомогою допоміжних поверхонь посередників точки визначають лінію перетину конуса і кулі.

Розглянемо на прикладі визначення лінії перетину конуса Q і сфери G (ріс.8.35б) застосування ексцентричних сфер, як поверхонь - посередників. Центри сфер - точки А 1, А 2 і А 3 розташовані на осі конуса. Сфера радіуса R 1 з центром в точці А 1 перетинає конус і сферу по колу а й в, які перетинаються в точках 1 і 2, що належать шуканої лінії перетину. За допомогою сфери R 2 з центром А 2 ісфери R 3 з центром А 3 визначено положення точок 3, 4 і 5, 6 відповідно. Точки 7 і 8 знайдені за допомогою допоміжної січної площини a (площини фронтального меридіана), яка перетинає конус і сферу по головному фронтальному меридіанах k і l. Точки 9 і 10, що визначають межу зони видимості лінії перетину на горизонтальній площині проекцій, знайдені за допомогою допоміжної січної площини b (горизонтальній площині рівня), що перетинає сферу G по екватору s, а конус Q по колу p. Знайдені за допомогою допоміжних поверхонь посередників точки 1 ... 10 визначають лінію перетину конуса і кулі.

Поверхнею другого порядку називається безліч точок простору, декартові координати, яких задовольняють рівнянню алгебри другого ступеня.

Дві поверхні другого порядку в загальному випадку перетинаються по просторової лінії четвертого порядку, яку називають біквадратних кривої.

У деяких випадках біквадратних крива розпадається на дві плоскі криві другого порядку, причому одна з них може бути уявної.

Опускаючи докази, наведемо деякі теореми і приклади, що ілюструють їх застосування.

Теорема 1. Якщо дві поверхні другого порядку перетинаються по одній плоскій кривій, то існує й інша плоска крива, по якій вони перетинаються.

Розглянемо приклад, до якого застосовна теорема.

Фронтальні проекції q 2 сфери Q і W 2 еліптичного циліндра W, що мають загальну окружність m (m 2) з центром О (О 2) (ріс.8.36).

Площина σ, що визначається центром сфери С і віссю i циліндра, є площиною симетрії заданих поверхонь, і паралельна фронтальній площині проекцій.

Загальна коло радіуса r - це одна з плоских кривих другого порядку розпалася лінії перетину. Залишається побудувати другу криву, площину α якої повинна бути в умовах даного прикладу перпендикулярна площині симетрії σ, а отже і П 2. Друга лінія перетину (окружність) проектується на П 2 у вигляді відрізка прямої n 2. Для її побудови слід скористатися точками А 2 і В 2, що належать нарисів заданих поверхонь.

Теорема 2. (Про подвійне торканні). Якщо дві поверхні другого порядку мають дотик у двох точках А і В, то лінія їх перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку, площина яких проходить через відрізок АВ, що з'єднує точки дотику.

Наприклад, по двох кіл m і n перетинається сфера S і еліптичний циліндр Q (ріс.8.37). Точки дотику і дотичні площини позначені відповідно через А, В, α, β. Кола, на які розпалася лінія перетину поверхонь, розташовані у фронтально проектують площинах γ і δ.

Теорема 3. (Теорема Г. Монжа). Якщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку. Площині цих кривих проходять через пряму, що сполучає точки ліній торкання.

Відповідно до цієї теоремою лінія перетину конуса Σ і циліндра Q (ріс.8.38), описаних близько сфери W, будуть плоскими кривими - еліпсами (розташованими в площинах a і b), фронтальні проекції яких зображуються прямими А 2 В 2 і С 2 Д 2,

Теорема Монжа знаходить ефективне застосування при конструюванні трубопроводів.

Теорема 4. Якщо дві поверхні другого порядку мають загальну площину симетрії, то лінія їх перетину проектується на цю площину у вигляді кривої другого порядку.

Energy - Школа современных танцев