Всі проблеми Перспективи можна пояснити за допомогою п'яти термінів Математики: точка, лінія, кут, поверхня і тіло.

Леонардо Да Вінчі

У першому наскальном зображенні перший первісний художник зіткнувся з непростою математичною задачею: відобразити тривимірний оригінал на двовимірну площину "картини". Сама природа допомогла йому у вирішенні цього завдання, бо, як зауважив Леонардо да Вінчі, "перша картина складалася з однієї-єдиної лінії, яка оточувала тінь людини, відкинуту сонцем на стіну".

Чому митець не задовольнявся тривимірної скульптурою, а прагнув до двовимірного зображення оригіналу, зрозуміти неважко: пласка поверхня печери або стіни храму, глиняної таблички або папірусу, пергамена або паперу була зручним носієм графічної інформації. В останніх випадках таку поверхню можна було просто згорнути в рулон і забрати з собою.

Люди здавна навчилися відображати різноманітні об'єкти оточуючого їх тривимірного світу на двовимірну площину картини. Однак у міру розвитку такого мистецтва відображення все частіше виникало питання: наскільки точно і наскільки переконливо ці плоскі образи відображають реальні тривимірні прообрази? На ці питання покликана була відповісти наука, і перш за все геометрія. І вона в міру сил відповідала на них, хоча рішення настільки простий на перший погляд завдання розтягнулося на тисячоліття.

У цьому розділі ми розглянемо з точки зору геометрії, які основні можливості є в рішенні задачі відображення тривимірного простору на двовимірну площину. А в главі 22 ми побачимо, як ці можливості реалізови-валися в мистецтві живопису.

Розділ геометрії, в якому вивчаються різні методи зображення просторових форм на площині, називається нарисної геометрією. В основі нарисної геометрії лежить метод проекцій, сутність якого така. У просторі вибирають фіксовану точку S - центр проектування і площину проекцій К (картинну площину), що не проходить через S. Для отримання зображення - проекції * - об'єкта на площину До через центр проекцій S і кожну точку А, В, С, ... об'єкта проводять проектують промені до перетину з площиною К. Сукупність точок перетину проектують променів з картинною площиною і дасть зображення (проекцію) об'єкта, яке називають центральної проекцією.

* ()

Уявімо тепер, що центр проектування S йде в нескінченність. Тоді проектують промені стають паралельними між собою. Вважаючи центр проектування розташованим в нескінченно віддаленій точці S∞, ми, таким чином, приходимо до важливого окремого випадку центрального проектування - паралельного проектування. Нарешті, важливим окремим випадком паралельних проекцій є ортогональні проекції, коли проектують промені ортогональні К, т. Е. Утворюють прямі кути з площиною проекцій К.

При побудові проекцій деякі властивості оригіналу зберігаються і на його проекції. Такими незмінними властивостями - інваріантами - при центральному проектуванні мають:

1) точки (проекція точки - точка);

2) прямі;

3) властивість точки належати прямій.

При паралельному проектуванні крім того зберігаються такі властивості:

4) паралельність прямих;

5) відношення відрізків прямих;

6) метричні властивості плоских фігур, паралельних картинній площині (плоскі фігури, паралельні картинній площині, проектуються на цю площину без спотворень).

Звернемо увагу на те, що властивість паралельності прямих при центральному проектуванні не зберігається.

Додаток нарисної геометрії до техніки висунуло вимогу "оборотності" креслення, т. Е. Можливості точного визначення просторової фігури по плоскому кресленням, або, кажучи мовою математики, взаємно однозначності відображення простору на площину. Розглянуті проекції є однозначними, але не взаємно однозначними відображеннями, т. Е. Кожній точці простору відповідає єдина точка площини, але не навпаки. Неважко переконатися і в тому, що для визначення положення точки в просторі за її кресленням необхідно мати дві проекції точки, отримані з двох центрів або при двох напрямках проектування. Ця геніально проста думка і становить основу нарисної геометрії, закладену видатним французьким математиком, активним діячем Великої французької революції, другом і радником Наполеона Гаспаром Монжем (1746-1818).

Суть методу Монжа можна викласти двома пропозиціями, як це зробив член-кореспондент АН СРСР Б. Н. Делоне: "Просторовий об'єкт проектується ортогонально (т. Е. Перпендикулярами) на площину і також проектується на деяку іншу їй перпендикулярну площину, і потім одна з цих площин повертається навколо прямої перетину цих площин, поки не сумісний з іншого. В результаті на одній і тій же площині виявляються дві різні проекції (виду) розглянутого об'єкта, за якими вже можна, методами Монжа, восст Анів розміри, кути і т. д., наявні у даного просторового об'єкта в натурі. "

Незважаючи на те що ортогональні проекції відомі людству з незапам'ятних часів (вся живопис Стародавнього Єгипту є не що інше, як ортогональні проекції на площину малюнка), проста думка використовувати дві ортогональні проекції для отримання взаємно однозначного відображення простору на площину прийшла Монжу лише в кінці XVIII століття . Маючи величезне практичне значення в теорії фортифікації, метод Монжа ще протягом 15 років оберігався як військова таємниця. Простота методу Монжа приголомшила сучасників. Познайомившись з його ідеями, Лагранж, перемежовуючи іронію з захопленням, вигукнув: "До слухання лекції Монжа я не знав, що мені відома нарисна геометрія!"

На малюнку показані різні типи проекції одного і того ж прямокутного паралелепіпеда з відношенням сторін 1: 2: 3. Метод ортогональних проекцій Монжа ілюструє малюнок а. Зауважимо, що третя проекція з точки зору математики є зайвою, але нею часто користуються, щоб створити більш повне уявлення про просторове тілі. Як зазначалося, при ортогональному проектуванні зберігаються справжні розміри контурів тіла.

Однак ортогональні проекції не дають цілісного враження про форму просторового об'єкта. Більш наочне уявлення про форму тіла дають аксонометричні проекції * - приватний вид паралельних проекцій, що відображають на площину До все точки просторового об'єкта разом з декартовой системою координат, до якої цей об'єкт віднесений. На малюнку б побудована аксонометрична проекція нашого паралелепіпеда. Ми бачимо, що в аксонометрии відбуваються спотворення лінійних розмірів, різні по різних осях. Згідно з основною теоремою аксонометрии - теоремі Польці, три довільних відрізка на площині, що виходять з однієї точки, можуть бути прийняті за паралельну проекцію трьох рівних і взаємно перпендикулярних відрізків, що виходять з деякої точки простору, Отже, аксонометричні осі і коефіцієнти спотворення по ним (відношення довжини по аксонометрической осі до істинної довжині за відповідною осі) можуть бути обрані довільно. (У нашій аксонометрии кути між осями рівні 120 °, а коефіцієнти спотворення - 1.)

* ()

Нарешті, на малюнку в побудована центральна проекція нашого паралелепіпеда. Зіставляючи всі три проекції, ми бачимо, що перспектива найбільш адекватно, т. Е. "Схоже", передає видимий нами об'єкт. Це чудова властивість центральної проекції і здобуло їй славу в мистецтві живопису, де вона отримала особливу назву - перспектива (від лат. Perspicio - ясно бачу). Перспективні проекції, є і найбільш важкими з розглянутих нами, тому зупинимося на перспективі більш докладно.

Насамперед зазначимо, що реально існуючий світ і видимий нами світ - не одне й те саме. Справді, згадаймо всім добре знайомий приклад: рейки залізниці здаються нам сходяться на горизонті, хоча ми прекрасно знаємо, що це не так і жоден машиніст, побачивши таку картину, не кинеться зупиняти поїзд.

Пояснення цьому "феномену" було відомо ще до нашої ери. У своєму творі "Оптика" Евклід постулював, що ми сприймаємо предмети, коли виходять від них прямолінійні промені світла сходяться в нашому оку. Таким чином, всю систему променів зору можна представити у вигляді "піраміди зору", вершина якої знаходиться в оці, а підставою служить даний об'єкт. У реченні 4 "Оптики" Евклід довів, що з двох предметів однакового розміру більш віддалений, т. Е. Видимий під меншим кутом зору, здається меншим. Отже, чому далекі предмети здаються меншими, було зрозуміло. Залишалося зробити ще один крок - розглянути картину як перетин піраміди зору картинної площиною. Однак на цей крок людству знадобилося більше 1500 років.

Болісно довго очікували ідеї Евкліда свого часу, і тільки в XIV столітті могутній потік Відродження підхопив їх. Філіппо Брунеллёскі (1377-1446), італійський архітектор і вчений, автор видатного інженерної споруди - грандіозного 42-метрового кам'яного купола над хором флорентійського собору Санта-Марія дель Фьоре, який став символом Флоренції, - зробив залишився крок. Брунеллёскі розсік піраміду зору Евкліда картинної площиною і отримав на ній центральною проекцією об'єкта, або перспективу. Перспектива, таким чином, була не просто об'єктивним геометричним методом побудови зображення, а й "фізіологічним" методом, тобто. Е. Методом, що враховує закономірності роботи людського ока. Саме тому перспектива давала зображення, настільки чудово "схожі" на видиму оком натуру.

Слідом за Брунеллёскі піднімається потужна хвиля робіт по перспективі. Титани Відродження не замикаються в геометричних побудовах, а втілюють теоретичні розробки в своїх безсмертних полотнах. Геометрія і живопис йдуть рука об руку. Разом з трактатами "Про живопис" Леона Батісти Альберті, "Про мальовничій перспективі" П'єро делла Франчески * (бл. 1420-1492), "Трактат про перспективу" Леонардо да Вінчі, "Керівництвом до вимірювання" Альбрехта Дюрера, "Шістьма книгами про перспективу "Гвідо Убальди (1545-1607) народжуються і такі пам'ятники перспективі, як" Бичевание Христа "П'єро делла Франчески," Таємна вечеря "Леонардо да Вінчі," Заручини Марії "Рафаеля," Меланхолія "і" Св. Ієронім "Дюрера ...

* ()

Але повернемося до нашого прикладу із залізницею. Подивимося, як зобразити на площині картини "рейки" - прямі, ортогональні площини картини, і "шпали" - рівновіддалені прямі, паралельні цій площині. Нехай точка зору S є центр проекцій, який визначає положення очі художника; Т - горизонтальна площина, на якій лежать зображувані об'єкти; К - площину картини (К1.Т). З точки S ми дивимося * на "точки закріплення рейок до шпал" А1, А2, А3, ... і В1, В2, В3, ... Точки перетину променів зору SAi і SBi з площиною До дають нам зображення (проекції) цих точок а1, а2, а3, ... і b1, b2, b3, ... на картині К. Очевидно, що точки, що лежать в основі картини, tt - лінії перетину площин до і Т - при проектуванні переходять самі в себе, т. е. лінійні розміри в підставі картини не спотворюються.

* ()

Ясно, що в міру віддалення точок А i і Bi в нескінченність промені SAi і SBi стають все більш пологими і все ближче підходять один до одного (так як кут зору, під яким ми бачимо рівні відрізки AiBi, зменшується), поки нарешті не будуть прилягати, зайнявши граничне положення SS∞. Можна вважати, що промінь SS∞ перетинається з обома "рейками" (і взагалі, з будь-якої прямої, паралельної "рейках") в нескінченно віддаленій точці Sx, яка проектується в головну точку картини О. Крапка Про лежить прямий hh, званої лінією горизонту , яка є лінія перетину картинній площині До і площини, що проходить через точку S паралельно площині Т. Відстань SS '= 00' називається висотою точки зору.

Таким чином, ми приходимо до основної теореми теорії перспективи: сімейство нескінченних паралельних прямих на площині Т, що не паралельних основи картини, зображується сімейством пересічних відрізків на площині К, причому точка перетину цих відрізків - точка сходження - лежить на лінії горизонту hh. Різними напрямками на площині Т відповідають різні точки сходу на лінії горизонту. Отже, лінія горизонту є геометричне місце точок сходу для всіляких напрямків на площині Т. Прямі площині T, паралельні основі картини, точки сходу не мають і проектуються на площини До в прямі, паралельні основі картини ( "шпали" на малюнку).

Зрозуміло, отримувати проекції точок об'єкта на картинній площині за допомогою просторових побудов, як це зроблено на малюнку, важко і незручно. Тому ще архітекторами Відродження був розроблений спосіб побудови перспективи, названий способом архітекторів, що дозволяє за допомогою точок сходу і лінії горизонту безпосередньо переходити з горизонтальній площині Т на площину картини К. Для побудови точки сходу F лінії L за способом архітекторів з проекції точки зору S 'проводять лінію L 'паралельно L до перетину з підставою картини в точці F'. Точка F 'є проекція точки сходу F на підставу картини. Відновлюючи з F 'перпендикуляр до лінії горизонту, знаходимо саму точку сходу F. (Доказ справедливості цього побудови очевидно з малюнка, а обгрунтування інших побудов способу архітекторів ми дамо в кінці наступного розділу.)

Перспектива відкрила перед художниками небувалі можливості. Вперше у художників з'явився геометричний метод зображення не окремого предмета, а всього видимого тривимірного простору, всього навколишнього світу. Небачені можливості перспективи найбільш яскраво розкривалися в зображенні інтер'єру. Ось чому художники Відродження так любили зображувати інтер'єр (згадаємо "Афінську школу" Рафаеля і "Таємну вечерю" Леонардо да Вінчі, см. С. 55 і 308).

Справді, повністю зобразити інтер'єр кімнати, наприклад, в аксонометрии просто неможливо. Для цього потрібно вважати стіни кімнати і її стелю прозорими. Можна, звичайно, дати ортогональні проекції стін, підлоги і стелі, але це буде креслення кімнати. Інша річ - перспектива. Вона дивним чином розкриває перед нами всю кімнату, дозволяючи побачити одночасно і її стіни, і підлогу, і стелю.

На малюнку в способом архітекторів побудована перспектива "математичної" кімнати у формі куба, що має вікно, двері, дві балки на стелі і підлогу, викладений квадратними плитами. Вийнята стіна ABCD кімнати збігається з площиною картини До і передається на ній без спотворень (природно, зберігаються і всі розміри на ABCD, такі, як х, у, z і т. Д.). Око художника розташований навпроти центру кімнати, т. Е. Головна точка картини знаходиться в центрі квадрата ABCD. У головній точці картини перетинаються всі прямі, перпендикулярні площині картини. Для побудови перспективи беремо план підлоги кімнати і, проводячи з проекції точки зору S 'прямі, паралельні діагоналям статі, знаходимо проекції точок сходу F1' і F2 'діагоналей. Переносячи ці точки на лінію горизонту hh, отримуємо точки сходу діагоналей F1 і F2. У цих точках на перспективі перетинаються діагоналі статі і паралельні їм (на плані) прямі. Подальша побудова перспективи підлоги і стін кімнати, а також горизонтальних кордонів вікна і двері зрозуміло з малюнка.

Розмітка вертикальних ліній вікна точками А2, А3, А4 робиться наступним чином. Беремо відрізок A1A5, що задає вертикальні лінії вікна, і його перспективне зображення а1а5. Потім відкладаємо з точки а1 відрізок A1A5 паралельно лінії горизонту і проводимо через точки А5 і а5 пряму до перетину з лінією горизонту в точці V. Прямі, що проходять через точку V і точки А1, А2, ..., А5 відрізка A1A5, розділять перспективу цього відрізка а1a5 в тому ж відношенні. Аналогічно розмічаються вертикальні лінії двері. Перспектива нашої "математичної" кімнати готова.

Зауважимо, що проблема правильної побудови перспективи "картатого" статі довго не давалася художникам Відродження. Ось чому, вирішивши цю геометричну задачу, майстри Відродження так любили зображувати квадрати статі на своїх полотнах (див. Наприклад, "Афінську школу" і "Заручини Марії" Рафаеля, с. 310). Квадратні плити були своєрідною координатної сіткою на площині статі і надавали глибині картини особливу виразність.

Закінчуючі короткий знайомство з геометричність основами Теорії перспективи, покажемо, як побудуваті перспективу прямокутна паралелепіпеда, розташованого під кутом до площини картини К. Для простоти будемо вважаті, что переднє ребро паралелепіпеда лежить в площіні картини. Просторові побудови тут незручні (див. Малюнок в на с. 277), тому перспективу паралелепіпеда знайдемо способом архітекторів, використовуючи тільки підстава паралелепіпеда - прямокутник ABCD, що лежить в горизонтальній площині Т.

Перш за все на площині картини До проводимо лінію підстави tt і лінію горизонту hh, яка вибирається на розсуд художника (це висота точки зору художника). Потім, проводячи прямі S'F1 'і S'F2' паралельні CD і СВ, будуємо точки сходу F1 і F2 цих ліній. Роблячи побудови, зрозумілі з малюнків а, б, отримуємо перспективу abcd підстави ABCD. Далі, поставлю з точок а, b, с, d перпендикуляри і відкладаючи з точки а висоту паралелепіпеда (так як переднє ребро паралелепіпеда лежить в площині картини, то його розміри в перспективі зберігаються), отримуємо вершину паралелепіпеда а '. Нарешті, поєднуючи точку а 'з точками сходу F1 і F2, а також поєднуючи утворені при цьому точки b' і d 'з відповідними точками сходу, отримуємо перспективу всього паралелепіпеда.

Уявімо тепер, що, проводячи лінію горизонту hh, ми помилилися і вона виявилася у нас не вище, а нижче підстави картини (рис. В на с. 282). У точності повторюючи всі попередні побудови, ми отримаємо зворотну перспективу а, b, с, d прямокутника ABCD.

Замість звичного в прямій перспективі скорочення видимих ​​розмірів предмета в міру віддалення його від спостерігача в зворотній перспективі відбувається збільшення цих розмірів. Зауважимо, що зворотний перспективу a1b1c1d1 прямокутника ABCD можна побачити, якщо подивитися на пряму перспективу abed цього прямокутника через картини, та ще й "догори ногами" (в цьому легко переконатися, перевернувши книгу і подивившись на abed на світло з іншого боку сторінки) .

Якщо далі повторити все ті ж побудови з висотами паралелепіпеда, як і раніше зберігаючи його висоту в площині картини, то ми отримаємо зворотну перспективу всього паралелепіпеда. Ще раз звернемо увагу на "дивина" зворотної перспективи: видимі розміри фігури в зворотній перспективі в міру віддалення від ока спостерігача не скорочуються (як в прямій перспективі), а збільшуються.

До тих пір поки ваші побудови зворотної перспективи носили чисто геометричний характер, в них, може бути, і не було б нічого дивного, крім поміченого розбіжності зворотної перспективи з нашим зоровим досвідом. Але вже зовсім дивним виявляється те, що саме зворотна перспектива є геометричній основою давньоруської живопису. Така дивна геометрія живопису Давньої Русі до сих пір не дає спокою її дослідникам. Дехто називає її просто "помилковим прийомом". Інші пов'язують "потойбічне" геометричне походження зворотної перспективи (згадайте наш погляд через картини) з тим "потойбічним" неземним ірреальним світом, який покликана була зображувати давньоруська ікона. Нарешті, є і третій, як нам здається, найбільш реалістичний і науковий погляд на зворотну перспективу. Але про все це мова піде трохи пізніше.

Отже, перспектива - це дуже просто. Це чиста геометрія. Так що ж, оволодівши геометрією перспективи, кожен може стати художником? На жаль немає. Математично точна перспектива - це ще не живопис, а тільки креслення, хоча б і такий прекрасний, як відтворений тут нами. Перспектива - це тільки геометрична основа живопису. Але ця основа мертва, до тих пір поки митець не вкладе в неї частинку своєї душі, чи не зробить її живописом. При цьому в чомусь можна і поступитися геометрією (що часто і робили художники) в ім'я життя самого мистецтва живопису.

Як ми бачили, побудова перспективних зображень - справа досить складна. Тому поряд з розробкою суворих математичних основ теорії перспективи художники Відродження намагалися дати своїм побратимам і прості практичні методи побудови перспективи. Дотепне пристрій для побудови перспективи описує А. Дюрер в трактаті "Керівництво до виміру". На стіні закріплена проушина (це "око" художника), через яку протягнуто шнур, що йде послідовно від точки до точки предмета (це "промінь зору"). Шнур проходить через раму, яка закривається дверцятами з натягнутою на неї папером. Рама має рухливі нитки - горизонтальну і вертикальну, що дозволяють фіксувати координати точки перетину "променя зору" з відкритою рамою і переносити їх на папір (для цього шнур прибирають, закривають дверцята з папером і відзначають на ній відповідну точку). Свій метод Дюрер ілюструє прекрасної гравюрою, яка, незважаючи на своє "технічне" зміст, сама є витвором мистецтва.

Як відбувався подальший розвиток теорії перспективи? Уже наше коротке знайомство з перспективою переконує в тому, що по перспективному зображенню дуже важко судити про справжні розміри предмета. Бажаючи подолати ці труднощі, математик і архітектор з Ліона Жерар Дезарг (1593-1662) в роботі "Загальний метод зображення предметів в перспективі" запропонував використовувати при побудові перспективи метод координат. Зображення предмета пропонувалося виконувати спільно з системою координат, щодо якої він орієнтований в просторі. Метод Дезарга поклав початок нового самостійного методу зображення, згодом названого аксонометричну.

Дезарг звернув увагу і на іншу особливість, яка виникає при побудові перспективи. Як ми бачили, при центральному проектуванні прямі, паралельні в горизонтальній площині Т, можуть переходити в пересічні прямі в картинній площині К (див. На с. 281). При цьому точка сходу паралельних прямих в картинній площині (точка О на малюнку) не має свого прообразу в площині Т. Бажаючи позбутися тацой особливості, Дезарг запропонував доповнити звичайну евклидову площину (площину з кінцевими точками) нескінченно віддаленими точками, названими невласними точками. Скільки нескінченно віддалених точок слід ввести на площині Т? Очевидно, скільки є напрямків для паралельних прямих, так як природно вважати, що всі паралельні один одному прямі перетинаються в одній нескінченно віддаленій точці. Ясно, що таких точок нескінченно багато. Сукупність нескінченно віддалених точок на площині Т утворює нескінченно віддалену пряму, яка на картинній площині До переходить в лінію горизонту. Площина, доповнена нескінченно віддаленими точками і нескінченно віддаленої прямий, отримала назву розширеної, або проективної площині.

Далі Дезарг запропонував стерти відмінності між власними та невласними елементами розширеної площині. Це значно спрощувало і узагальнювала багато міркування. Справді, в такому випадку на розширеній площині зникало саме поняття паралельності прямих, так як паралельні прямі можна було вважати пересічними в нескінченно віддаленій точці. Але тоді автоматично усувалася і та особливість центрального проектування, з якої все й почалося: на розширеній площині пересічні прямі (в тому числі і пересічні в невласне точці, т. Е. Паралельні) проектувалися в пересічні. Таким чином, на розширеній площині центральні проекції доповнювалися ще одним інваріантом (див. С. 275) - властивістю прямих перетинатися.

Поведінка точок і прямих на розширеній площині управлялося лише двома аксіомами:

1) дві різні точки на розширеній площині визначають пряму, і притому тільки одну, якої вони належать;

2) дві різні прямі на розширеній площині визначають точку, до того ж лише одну, через яку вони проходять.

Немає паралельних прямих! Немає знаменитого п'ятого постулату Евкліда, який 2000 років не давав спокою математикам! Геометрія розширеної площині - це геометрія точок, прямих і перетинів. Будь-яка теорема про конфігурацію цих елементів на розширеній площині залишалася справедливою і для будь-якої центральної проекції цієї конфігурації. Звідси і пішла назва нової геометрії - проективна геометрія.

Так, в надрах мистецтва живопису народилася нова наука - проективна геометрія - ще одне свідчення тісних зв'язків між наукою і мистецтвом.

Нові ідеї виявилися надзвичайно плідними і дозволили Дезаргом отримати ряд першокласних результатів, в тому числі й знамениту теорему, що носить його ім'я. Однак ідеї Дезарга випередили його час. Його твори відлякували сучасників стислістю викладу і численністю нових позначень. Про Дезаргом і його методі просто забули ...

Шляхи науки несповідимі. Доля вирішує було розпорядитися так, щоб рівно через 150 років після смерті Дезарга його ідеї відродив його ж співвітчизник. Однак сталося це не в рідній Франції, а в далекій Росії, в глухому провінційному місті Саратові ...