Лекція № 10. Перетин поверхонь тіл обертання двічі проецирующей площиною

1. Загальні відомості

При перетині поверхні тіла обертання площиною Р зазвичай отримують в перерізі деяку криву лінію. Основними завданнями є визначення проекції лінії, будова натурального виду перетину і розгортка розсіченою поверхні тіла обертання.

Як правило, крива лінія, отримана в перерізі даного тіла площиною, відноситься до лекальним кривим. Значить, для точного її побудови необхідно досить багато точок. Щоб знайти точки кривої, застосовують метод проведення допоміжних площин. На малюнку 102 зображено конус, поверхню якого перетинається деякої фронтальної площиною Р. Для отримання кількох точок, які належать лінії перетину (гіперболи), потрібно провести допоміжну горизонтальну площину Q. Дана площину буде перетинати конус по колу, а площину Р - по прямій лінії. Точки, в яких отримана пряма перетинає коло, належать шуканої лінії перетину.

Провівши таким же чином ще кілька допоміжних горизонтальних площин, будемо виходити кожен раз по дві точки шуканої лінії. При отриманні достатнього числа таких точок, слід з'єднати їх плавною кривою, яка буде проекцією шуканої лінії перетину.

Отже, метод проведення допоміжних площин полягає в наступному.

1. Проводять допоміжну площину Q так, щоб лінію перетину її з даною поверхнею можна було легко побудувати.

2. Приступають до побудови цієї лінії, а також прямий перетину площин Р і Q, де Р є даній січною площиною. Тут загальні точки ліній перетину площини Q з поверхнею і з цією площиною Р відносяться до шуканого перетину.

3. Виконавши кілька допоміжних площин, визначають необхідну кількість точок перетину таким чином, щоб шукану криву можна було будувати за допомогою лекала.

Для поверхонь обертання будь-яка площина, перпендикулярна осі обертання, буде перетинати дану поверхню по колу. При виконанні креслення все побудови, пов'язані з перебуванням окремих точок кривої, потрібно тонко виконувати олівцем, а після обведення кривої тушшю допоміжні побудови видаляються. Завдяки цим лініям можна зрозуміти спосіб отримання окремих точок.

Побудова розгортки в цьому випадку можливо тільки в тих окремих випадках, коли поверхня відноситься до числа розгортаються, т. Е. Таких поверхонь, які, будучи розрізання вздовж якоїсь лінії, можуть бути суміщені з площиною (як, наприклад, поверхня циліндра або конуса ). Однак багато поверхні, наприклад кульова, не можуть бути суміщені з площиною, в зв'язку з цим побудова розгортки може виконуватися тільки наближено.

2. Гіпербола як перетин поверхні конуса фронтальною площиною

Нехай потрібно побудувати перетин поверхні конуса, що стоїть на горизонтальній площині, площиною Р, яка паралельна площині V.

На малюнку 103 показано фронтальна площину Р, паралельна осі конуса і перетинає його поверхню по гіперболі. Дана крива проектується на площину V без спотворення.

Виконуючи побудова проекцій перетину, спочатку потрібно знайти секції характерних точок. В даному випадку ці характерні точки являють собою самі нижні і верхні її точки.

Нижні точки перетину. На малюнку 103а показані дві самі нижні точки перетину, вони лежать в горизонтальній площині проекцій і відзначені цифрою 1. Ці точки лежать на перетині окружності підстави з горизонтальним слідом січної площини P h. На епюрі малюнку 103б зображені їх горизонтальні проекції 1, а їх фронтальні проекції 1? лежать на осі х.

Верхня точка перетину (вершина гіперболи). На цьому ж малюнку дана профільна проекція 3? вершини гіперболи, яка безпосередньо видно на профільній проекції конуса як перетин його контуру зі слідом Pw.

Слід зазначити, що якщо профільна проекція конуса відсутня, то, щоб знайти проекції вершини гіперболи (лінії перетину), потрібні деякі допоміжні побудови. При цьому будь-яка горизонтальна площина Q перетинає конус по колу, яка проектується на горизонтальну площину Н без спотворення. Ця окружність проектується на фронтальну площину проекцій у вигляді відрізка, який дорівнює її діаметру і який укладено між контурними утворюють конуса. Якщо провести горизонтальну площину Q досить близько до основи конуса, то частина даної окружності буде відсічена площиною Р (окружністю 2-2). Якщо провести таку площину трохи ближче до вершини, тоді коло цілком збережеться (окружність 4). Потрібно знайти таке положення горизонтальній площині, яке дасть найбільшу цілу окружність (окружність 3). Ця площина буде стосуватися гіперболи в вершині, вона ж визначить положення шуканої точки 3 ?.

Горизонтальна проекція цього кола стосується сліду P h, а її радіус дорівнює оа. Тому для знаходження проекцій вершини гіперболи потрібно:

а) повернути радіус ОА на 90 ° до положення оb;

б) потім знайти фронтальну проекцію b? точки В на контурній утворює конуса;

в) після цього з точки b? провести пряму, паралельну осі х, до зустрічі з віссю симетрії фронтальної проекції конуса в точці 3? .

Проміжні точки гіперболи. Щоб знайти проекції проміжних точок гіперболи, проводять допоміжні горизонтальні площини Q між вершиною гіперболи і підставою конуса. При цьому кожна така площина Q визначить по парі точок гіперболи. Це побудова виконується наступним чином:

1) спочатку проводять фронтальний слід Qv січною горизонтальній площині, яка перетинає контур проекції тіла в певній точці з? ;

2) потім знаходять горизонтальну проекцію с;

3) після чого радіусом осі проводять окружність. При цьому точки, в яких слід P h перетинає цю окружність, є горизонтальні проекції 2 тих точок гіперболи, які лежать в площині Q, оскільки вони відокремлюють збережену частину окружності від відсіченою площиною Р;

4) на завершення знаходять фронтальні проекції 2? точок гіперболи на сліді Q v.

Дане побудова вказано на малюнку стрілками. Після того як проведено кілька допоміжних площин і побудовано достатню кількість точок гіперболи, слід з'єднати їх за допомогою лекала.