1. 4.1. Окремі випадки перетину прямої з площиною
2. 4.2. Окремі випадки перетину площин
3. 4.3. Перетин прямої і площини загального положення
4. 4.4. Перетин прямої з координатними осями
5. 4.5. Перетин площини з координатними осями і координатними площинами
6. 4.6. Взаємо-паралельні площині
7. 4.7. Перетин двох площин загального положення. Метод січних площин

При моделюванні важливо знати взаємне положення геометричних фігур, які можуть перетинатися (що, часто, не повинно бути), стосуватися і т.д. Ортогональний креслення не завжди дає відповідь на ці питання. Однак знання властивостей паралельного проектування, дозволяє відразу вирішити деякі позиційні задачі. Так, наприклад, властивість паралельності прямої площини (пряма паралельна площині, якщо вона паралельно будь-якої прямої, що лежить в площині) дозволяє по ортогональним (наприклад рис 4.1, а, б) проекція зробити висновок, що пряма паралельна площині, тобто не перетинає її і не лежить в ній. Алгоритм неналежність прямий площині (пряма належить площині, якщо дві її точки лежать в площині) дан на мал. 4.1, б, де бачимо, що пряма в площині 1-2 на проекції V збігається (конкурує із заданою прямою), а на іншій немає.

Мал. 4.1. а) пряма l паралельна площині б) пряма l такжепараллельна площині.

Рішення багатьох позиційних задач простежується безпосередньо за кресленням, якщо грань (площину) або ребро (пряма) займають приватні положення. Тому приватні положення важливо не тільки знати, а й важливо "бачити" в них рішення задач, тим більше, як буде показано далі, нарисна геометрія та автоматизовані системи для цих і багатьох інших цілей мають потужний інструмент перетворень (див. Теми 7,8) фігур до їх приватного виду.

4.1. Окремі випадки перетину прямої з площиною

Перетин проецирующей прямої з площиною (рис. 4.2, а) визначається з умови приналежності точки перетину заданої площини (див. Тему 3).
Перетин прямої з проецирующей площиною (рис. 4.2, а) визначається в перетині вироджених проекції площини і відповідної проекції прямої.

На рис. 4.2, б задана фронтально проектує площину, перетин вироджених проекція якої з проекцій прямої l '' на цю ж площину визначає точку перетину. Як бачимо, рішення позиційних задач при такому розташуванні прості.

Мал. 4.2. а) перетин проецирующей прямої з площиною,
б) перетин прямої з проецирующей площиною, в)

4.2. Окремі випадки перетину площин

Перетин проецирующей прямої з площиною загального положення (рис. 4.3, а) вирішується на основі: пряма перетину двох площин може бути визначена двома точками і, тому взявши на НЕ вироджених площині дві довільні прямі визначимо дві точки в перетині з вироджених проекцією прямої (див. алгоритм також по рис. 4.2, б).

Перетин двох проектують площин на одну і ту ж координатну площину визначається з умови перетину їх вироджених. Лінія перетину 1-2 (рис. 4.3, б) буде проецирующей в точку перетину вироджених проекцій
Завдання 4.2, 4.3 вирішуються на основі вироджених властивостей проектують прямих і площин.

Мал. 4.3. а) перетин проецирующей прямої з площиною загального положення,
б) перетин двох проектують площин

4.3. Перетин прямої і площини загального положення

Дане завдання в плані вивчення нарисної геометрії (відповідно і комп'ютерної) є визначальною. Якщо дана завдання не освоєна (не вирішена самостійно серія завдань при різних завданнях площин і прямий, то подальше вивчення нарисної геометрії практично неможливо: втрачається логіка роздумів і т.д.

Дамо алгоритм визначення точки перетину прямої загального положень з площиною загального положення

1. Через дану пряму (рис.4.4) проводимо допоміжну площину (площину-посередник).
2. Будуємо пряму перетину заданої прямої і допоміжної площини (див. Рис.4.3)
3. Точка перетину визначається як перетин заданої прямої і лінії перетину площин (заданої і посередника).
4. Визначаємо видимість за методом конкуруючих точок На рис. 4.4 дана площину АВС загального положення і пряма l, яка перетинає цю площину. Завдання вирішена поетапно, згідно записаного алгоритму.

Мал. 4.4. а) задані пряма і площина, б) вводимо посередник - площину Q (Q "= l"), в) визначаємо лінію 1-2 як перетину посередника Q із заданою площиною ABC, в) визначаємо точку К як перетину прямої 1-2 з l, що лежать в одній площині (це простежується на горизонтальній площині), д) тут показано рішення задачі всіх етапів на одному кресленні.

Запишемо алгоритм вирішення задачі на перетину прямої з площиною ще раз

1 етап. Через пряму l проведена допоміжна фронтально-проектує площину Q.
l = Q (Q перпендикулярна V, l '' = Q '')

2 етап. Визначено пряма 1-2 перетину проецирующей площині Q c заданої площиною ABC.

3 етап. Визначено точка K перетину прямої 1-2 із заданою прямою.
K = 1-2, як перетин з l.

4 етап. Визначено видимість прямої відносно площини по конкуруючим точкам 1,3 і 4,5.

4.4. Перетин прямої з координатними осями

називають точку перетину прямої з площиною проекцій. Пряма загального положення має три сліди: горизонтальний, фронтальний і профільний. Прямі приватного положення мають один або два сліди: проектують прямі мають один слід, прямі рівня - два сліди.

Так як будь-яка координатна площину є проецирующей на інший координатної площині, то завдання побудови сліду прямої зводиться до задачі знаходження точки перетину прямої з проецирующей площиною.

Так, наприклад, побудова горизонтального сліду l '' прямий l (AB) (рис. 4.5, .а, б) визначається в перетині фронтальної проекції l '' з віссю Ох.

а) б)

Мал. 4. 5. Перетин прямої з горизонтальною і фронтальною площиною: а) на наочному кресленні, б) на ортогональному кресленні.

4.5. Перетин площини з координатними осями і координатними площинами

Щоб задати площину аналітично, наприклад, рівнянням у відрізках: x / a + y / b + z / c = 1, де а, b, c - відрізки відсікаються площиною по осях x, y, z, можна скористатися правилом (див. П . 4.2) перетину площини з проектується прямими (всі осі є проектується на ту чи іншу координатну площину) або правилами перетину заданої площини з координатними площинами (всі координатні площині є проектується по відношенню до решти двох), як з виродженими їх проекціями (вони збігаються з осями) на інших координатних площинах.

4.6. Взаємо-паралельні площині

Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі одній площині паралельні двом пересічним прямим іншій площині (рис. 4.6, а). У паралельних проектують площин вироджені проекції R 'і S' паралельні (рис. 4.а, б), у паралельних площин їх однойменні сліду також взаємно паралельні (рис. 4.6, б)

Мал. 4.6. Взаємо-паралельні площині: а) загального положення, в) проектують, в) загального положення, задані слідами

4.7. Перетин двох площин загального положення. Метод січних площин

Дві площини перетинаються в загальному випадку по прямій, яка може бути визначена двома точками. Завдання може бути вирішена двома способами:

- способом подвійного знаходження точок перетину двох прямих одній площині з іншого площиною за алгоритмом п 4.3, і

- способом введення двох допоміжних січних площин (посередників) приватного положення.

Перший спосіб зрозумілий (треба двічі вирішити задачу на перетин прямої з площиною) і він повністю ґрунтується на алгоритмі п 4.3.

Розглянемо другий спосіб, тим більше на ньому в подальшому спираються рішення багатьох задач нарисної геометрії при роботі з поверхнями.

Алгоритм методу січних площин

1) Задані площині T і P (рис.4.7) розсікає двома допоміжними проектується площинами Q1 і Q2.
2) Визначаємо прямі, за якими допоміжні площини Q1 і Q2 перетинають кожну з площин.
3) Визначаємо першу точку K1 від перетину прямих отриманих на заданих площинах T і P від ​​першої січної площини Q1 і другу точку K2 від перетину прямих отриманих на заданих площинах T, P від ​​другої січної площини Q2.
4) пряма K1-K2 проходить через першу K1 і другу K2 точки буде шуканої прямої перетину площин T і P.

На рис. 4.8. показано рішення даної задачі на ортогональному кресленні

Мал. 4. 8

Алгоритм даного рішення

1) Задані площині R (a перетинає b) і S (c // d) розсікає двома допоміжними проектується площинами Q1 і Q2.

2) Визначаємо прямі, за якими допоміжні площини перетинають кожну з площин.
1-2 = Q1 в перетині з R; 3-4 = Q1 в перетині з S.
5-6 = Q1 в перетині з R; 7-8 = Q1 в перетині з S.

3) Визначаємо першу точку К1 від перетину прямих отриманих на заданих площинах від першої січної площини і другу точку К2 від перетину прямих отриманих на заданих площинах від другої січної площини.
k1 = 1-2 в перетині з 3-4.
k2 = 5-6 в перетині з 7-8.

4) Пряма, що проходить через точки k1 і k2 буде шуканої прямої перетину двох площин.

При побудові можуть використовуватися деякі спрощення, типу, якщо площині-посередники паралельні між собою, то другі точки (т.6, 8) на другий січної площини, можна не будувати. Прямі перетину будуть паралельні першим прямим перетину на тому властивості, що дві паралельні площини перетинають дві задані площини вздовж паралельних прямих.

4.8. Позиційні завдання на перетин прямих і площин, площин, поверхонь в системі "CG-Вектор" вирішуються безпосередньо при візуалізації об'єктів. В розділі Тема 12d (малюнки) приведена серія прикладів на перетину поверхонь.