1. Список літератури
2. Питання і коментарі до виступу:

У даній статті розглядаються завдання на побудову лінії перетину алгебраїчних поверхонь із загальною площиною симетрії (крім випадків розпаду лінії на дві плоскі криві) в система тривимірного твердотільного моделювання КОМПАС-3D.
Ключові слова:3D-моделі, перетин, лінії, циліндр, конус, гіпербола, асимптота, фокус, вершина

Технічні можливості комп'ютерної графіки дозволяють перейти на новий рівень викладання графічних дисциплін. Використання комп'ютерної техніки дає можливість скоротити час, що відводиться на відпрацювання деяких тем нарисної геометрії, підвищити ефективність засвоєння предмета завдяки гарній наочності досліджуваного матеріалу, забезпечити розвиток просторово-образного мислення і набути нових навичок і прийоми роботи з системою комп'ютерної графіки.

У навчальних цілях для навчання студентів машинобудівних спеціальностей на кафедрі інженерної та комп'ютерної графіки поряд з іншими графічними системами використовується система тривимірного твердотільного моделювання КОМПАС-3D, розроблена російською компанією «АСКОН». Використання методів створення тривимірних моделей скорочує трудомісткість рішення задач нарисної геометрії на побудову лінії перетину поверхонь, збільшує наочність пересічних геометричних тіл, дозволяє аналізувати характер лінії в залежності від параметрів пересічних об'єктів.

У даній роботі розглядаються завдання на побудову лінії перетину алгебраїчних поверхонь із загальною площиною симетрії (крім випадків розпаду лінії на дві плоскі криві).

Розглядаються наступні етапи при вирішенні даних завдань:

1. Створюється тривимірна модель пересічних геометричних тел
2. На основі моделі формується креслення об'єктів з автоматично побудованої лінією перетину. Асоціативний зв'язок креслення з моделлю дозволяє аналізувати лінію при зміні параметрів пересічних об'єктів;
3. Визначається вид лінії на фронтальній проекції, її характерні точки, асимптоти, фокуси і т.д.

В основі вирішення подібних завдань лежить наступна теорема:

Якщо дві пересічні алгебраїчні поверхні 2-го порядку мають загальну площину симетрії, то лінія їх перетину проектується на цю або іншу їй паралельну площину у вигляді кривої 2-го порядку.

Цю теорему можна довести аналітично на прикладі перетину двох циліндрів обертання (рис. 1), [1].

Нехай в системі координат OXYZ перетинаються циліндри Ф і Р (рис. 1), осі яких збігаються з осями координат X і Z. Тоді площину XOZ, буде загальною площиною симетрії заданих поверхонь.

У вибраній системі координат циліндр Ф описується рівнянням

x 2 + y 2 = R 1, 2,

а циліндр Р - рівнянням

z 2 + y 2 = R 2 2.

Тоді система рівнянь

x 2 + y 2 = R 1 2

z 2 + y 2 = R 2 2

описує просторову криву m четвертого порядку, що утворилася в результаті перетину двох заданих циліндрів.

Встановимо рівняння проекції m 2 кривої m перетину на площину П2, паралельну загальної площини симетрії XOZ. Для цього виключимо з системи рівнянь координату y.

y 2 = R 1 2 - x 2

z 2 + R 1 2 - x 2 = R 2 2

z 2 - x 2 = R 2 2 - R 1 2

Звідки

z 2 / (R 2 2 - R 1 2) - x 2 / (R 2 2 - R 1 2) = 1.

Отримане рівняння описує рівносторонній гіперболи - плоску криву другого порядку.

Відповідно до викладеного, лінії перетину поверхонь другого порядку, які мають загальну площину симетрії, будуть проектуватися в криві другого порядку - гіперболи, параболи, еліпси. Вид проекції кривої визначається видом пересічних поверхонь. Найбільш часто зустрічаються випадки перетину даних поверхонь представлені на рис. 2 [1].

Так, в гіперболу проектується лінія перетину конусів, циліндрів, параболоїдів і розтягнутих еліпсоїдів.

У параболу проектується лінія перетину сфери з конусом, циліндром, параболоїдом, гіперболоїдом, еліпсоїдом.

В еліпс проектується лінія перетину стисненого еліпсоїда з циліндром, конусом, параболоїдом, гіперболоїдом, розтягнутим еліпсоїдом.

Перераховані типи ліній автоматично створюються на асоціативних видах в документі Креслення в результаті формування моделей геометричних тіл в режимі Деталь.

На нижче представлених прикладах розглянемо, як на отриманих лініях визначити її елементи - окремі точки, осі, вершини, асимптоти, фокуси.

Приклад 1. Перетин конуса і циліндра, осі яких перетинаються не під прямим кутом (рис. 3).

Для знаходження положення асимптот гіперболи в конус вписують сферу з центром в точці перетину осей конуса і циліндра, а потім циліндр розтягують до дотичного до побудованої сфері. Точки перетину нарисових утворюють конуса і розтягнутого циліндра з'єднують прямими, які перетинаючись не під прямим кутом, будуть асимптотами нерівносторонні гіперболи. Через точку перетину асимптот проводимо дійсну вісь гіперболи, яка є бісектрисою кута між асимптотами. Вершинами гіперболи A і B є точки перетину дійсної осі з кривою. Перпендикулярно до дійсної осі проводимо уявну вісь.

Приклад 2. Перетин двох конусів, осі яких перетинаються під прямим кутом (рис.4).

Вершини гіперболи A і B знаходимо за допомогою сфери, вписаною в конус з найбільшим кутом при вершині. Ділимо відрізок АВ навпіл і знаходимо центр гіперболи - точку О1.

Для знаходження асимптот гіперболи співвісно з конусом, що має менший кут при вершині, будуємо конус, дотичний до вписаною сфері. Точки перетину нарисових утворюють заданого і побудованого конусів з'єднуємо прямими лініями. Через центр О1 проводимо лінії їм паралельні, які і будуть асимптотами гіперболи.

Список літератури

1. Дубров А. А. і ін. Метод. вказівки. Побудова лінії перетину поверхонь обертання із загальною площиною симетрії. Харків, ХИРЕ, 1982.

Малюнки до доповіді

Рис. 1

Перетин двох циліндрів обертання

Рис. 2

Варіанти перетину поверхонь

Рис. 3

Перетин конуса і циліндра

Рис. 4

Перетин двох конусів під прямим кутом

Питання і коментарі до виступу:

(12 березня 2017 р 11:23)

Добрий день, Едуард Володимирович, Любов Олександрівна та Надія Василівна! Спасибі, що ділитеся з нами конкретним досвідом, так докладно і докладно.

У вашому доповіді мені здалося цікавим поєднання основ геометрії, твердотільного моделювання та аналітичного рішення задачі. Чи застосовується викладена методика аналізу шуканої лінії перетину при виконанні лабораторних робіт і скільки годин на це відводиться? З повагою, Олена С. Дудар

Іванов Геннадій Сергійович

(12 березня 2017 р 20:29)

Шановні Едуард Володимирович, Любов Олександрівна, Надія Василівна!

Зміст Вашої статті опукло відображає стан і протиріччя в викладанні нарисної геометрії в даний час.

З одного боку, маємо помітне зниження науково-методичного рівня її викладання. (Моя трудова діяльність на кафедрі графіки почалася в 1962 - му році - після закінчення інституту, тому мій досвід і стаж дозволяють судити про це професійно). Зокрема, рецензована стаття за своїм науковим рівнем далека від аналогічної статті Е.А. Глазунова «Про проекції лінії перетину двох поверхонь другого порядку, що мають спільну площину симетрії» / Праці Московського семінару з нарисної геометрії та інженерної графіки, М., Радянська наука, 1958. С. 35 - 69.

З іншого боку, сподіватися на підвищення рівня знань студентів простим (механічним) використанням комп'ютерів у вирішенні завдань НГ без відповідного геометричного забезпечення, годі й говорити. Наприклад, нехай розглядаються в статті поверхні мають точку дотику. Вона на лінії їх перетину може бути вузловий, повернення і ізольованою. Якщо на зображенні вузлову точку і точку повернення можна відрізнити, то як бути з ізольованою точкою?

Ще один, з моєї точки зору, переконливий приклад: дано дві конічні поверхні другого порядку із загальною вершиною, їх направляють a і b належать одній площині. Чотири їх точки перетину можуть бути дійсними і різними, уявними і збігатися в різних комбінаціях! Відповідними будуть вид і взаємне положення утворюють, за якими перетинаються ці конічні поверхні. Як бути в цьому випадку? Ця проста на перший погляд завдання має прикладне значення: двовимірний гладкий обвід з відсіків розглянутих конічних поверхонь з двома, трьома і чотирма збіглися утворюють можна використовувати на зразок відомих поверхонь Кунса для апроксимації технічних форм різного призначення. З цим же питанням перегукуються статті А.Г. Гірша, В.А. Короткого, опубліковані в матеріалах цієї конференції.

Ці протиріччя не є непереборними: вони лише відображають прояв «хвороби росту». В ідеалі проблема полягає в забезпеченні максимально можливого внеску нарисної (інженерної) геометрії для досягнення необхідного рівня геометричній підготовки студентів з метою успішного освоєння матеріалів наступних курсів, починаючи від суміжних розділів вищої математики і закінчуючи курсом математичного моделювання для магістрів.

З повагою Г.С. Іванов

(16 березеня 2017 р 10:34)

Шановний Геннадій Сергійович!

Я боагодарен Вам за коментар до моєї статті. Прочитав Ваші зауваження з великим інтересом.В відповідь хочу сказати, що дана стаття не є науковою. Вона орієнтована на студентів першого курсу. Хотілося показати зв'язок аналітичної геометрії з її рівняннями поверхонь і нарисної геометрії з її графічними прийомами побудови лінії перетину. Для більшої наочності залучена комп'ютерна графіка, яку студенти тільки починають вивчати. Матеріал статті несе навчальний характер і використовується в гурткової роботи зі студентами.

З повагою, Е.В.Козирев.

Козирєв Едуард Володимирович

(16 березеня 2017 р 10:42)

Шановна Олено Сергіївно!

Дякую за доброзичливий коментар до статті. На тему "Взаємне перетинання поверхонь" виділяється 2 практичних заняття. Перший - побудова лінії перетину поверхонь методами допоміжних січних площин і сфер. Студенти вручну виконують графічну роботу на форматі А3. Друге заняття - моделювання пересічних об'єктів (лабораторна робота з комп'ютерної графіки) з аналізом лінії в залежності від розмірів одного з об'єктів. Якщо на заняттях з'являється вільний час, то розглядаються параметри лінії і її характерні точки. Матеріал статті призначений для гурткової роботи зі студентами.

З повагою, Е.В.Козирев.

Селіверстов Олександр Владиславович

(16 березеня 2017 р 11:33)

Привіт, Едуард Володимирович, Любов Олександрівна та Надія Василівна!
Розкажіть трохи докладніше про організацію гурткової роботи. Яка частка від усіх студентів першого курсу бере участь в роботі гуртка? Чи враховуються успіхи студентів?
З повагою, А.В. Селіверстов

(22 березня 2017 р 13:02)

Привіт, Олександре Владиславовичу! Про організацію гурткової роботи зі студентами нічого оригінального повідомити не можу. У мене в так званому "гуртку" беруть участь три - дві людини, зазвичай по дві людини на одну тему. Запрошуються успішні студенти з обіцянкою скоротити обов'язкову графічну роботу і підвищенням оцінки на заліку. Студентам пропонується вже готова робота, в якій йому слід розібратися. Далі він виступає з доповіддю на щорічній кафедральної студентської конференції. З метою підвищення рейтингу викладача, включаю одного - двох студентів в число авторів спільної статті.

З важливий, Е.В. Козирєв.